动机：为什么研究 Dirichlet 特征？

因为 Dirichlet 特征可以将模运算中的同余条件转化为代数运算。

下面先介绍 Dirichlet 特征的定义，然后使用它解决一个经典的数论问题，以此展现其在问题中的作用。问题如下：

若 q∈Z>0q\in\mathbb Z_{>0}、a∈Za\in\mathbb Z 且 (a,q)=1(a,q)=1，则存在无穷多个素数 pp 满足

p≡a(modq).p\equiv a\pmod q.

定义：Dirichlet 特征（Dirichlet character）

设 q∈Z>0q\in\mathbb Z_{>0}（qq 不必为素数），模 qq 的 Dirichlet 特征是一个满足下列条件的映射

χ:Z→C,\chi:\mathbb Z\to\mathbb C,

其中：

  1. 周期性：χ(n+q)=χ(n)\chi(n+q)=\chi(n)；
  2. 完全乘性：χ(ab)=χ(a)χ(b)\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)；
  3. 取 00 条件：χ(a)=0  ⟺  (a,q)>1\chi(a)=0\iff(a,q)>1。

定义很好理解，Dirichlet 特征只是一类满足某些约束条件的函数而已。下面看几个例子，有助于我们更直观地感受 Dirichlet 特征。

例子：

  • q=1q=1 时，χ(0)=1\chi(0)=1；

  • q=2q=2 时，χ(0)=0\chi(0)=0，χ(1)=1\chi(1)=1；

  • q=3q=3 时，χ(0)=0\chi(0)=0，χ(1)=1\chi(1)=1，χ(2)=±1\chi(2)=\pm1，因为

    χ(2)2=χ(4)=χ(1).\chi(2)^2=\chi(4)=\chi(1).

χ\chi 在 0 和 1 处的取值

尽管定义十分简单，但是从这些定义中，我们已经能够得到一些具有一般性的性质。比如，Dirichlet 特征在一些特殊点上的取值。

性质 1. 当 q>1q>1 时，有 χ(0)=0\chi(0)=0。

证明. (0,q)=q>1(0,q)=q>1，由取 00 条件立即得到 χ(0)=0\chi(0)=0。

P.S. 从上面的例子中可以看到，在 q=1q = 1 的情况下，χ(0)=1\chi(0) = 1.

性质 2. 对任意 q∈Z>0q\in\mathbb Z_{>0}，有 χ(1)=1\chi(1)=1。

证明. χ(1)2=χ(1)\chi(1)^2=\chi(1)，故 χ(1)=0\chi(1)=0 或 11；又因 (q,1)=1(q,1)=1，所以 χ(1)≠0\chi(1)\ne0。

模长为 1

除了在特殊点处的取值之外，对于更一般的点，我们虽然无法得到其确切的取值情况，但是仍然有一些共同的性质。比如，模长。

性质 3. 若 (n,q)=1(n,q)=1，则 ∣χ(n)∣=1|\chi(n)|=1。

证明. 由 Euler 定理，

nφ(q)≡1(modq).n^{\varphi(q)}\equiv1\pmod q.

利用周期性、完全乘性以及 χ(1)=1\chi(1)=1，得到

χ(n)φ(q)=χ(nφ(q))=χ(1)=1.\chi(n)^{\varphi(q)} =\chi\left(n^{\varphi(q)}\right) =\chi(1)=1.

两边取模：

∣χ(n)∣φ(q)=1.|\chi(n)|^{\varphi(q)}=1.

故 ∣χ(n)∣=1|\chi(n)|=1。结合取 00 条件，任意 n∈Zn\in\mathbb Z 均满足

∣χ(n)∣={1,(n,q)=1,0,(n,q)>1.|\chi(n)|= \begin{cases} 1,&(n,q)=1,\\ 0,&(n,q)>1. \end{cases}

主特征

下面来看一个比较特殊的 Dirichlet 特征，读者可自行验证这个定义确实符合 Dirichlet 特征的定义。

定义：主特征（principal character）

模 qq 的主特征定义为

χ0(n)={1,(n,q)=1,0,(n,q)>1.\chi_0(n)= \begin{cases} 1,&(n,q)=1,\\ 0,&(n,q)>1. \end{cases}

记所有模 qq 的特征组成的集合为 XqX_q. 令 G=(Z/qZ)×G=(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times，则 GG 是一个有限 Abel 群。下面介绍一个定理，用于计算 XqX_q 的大小。

性质 4.

Xq≅G.X_q\cong G.

证明. 每个 χ∈Xq\chi\in X_q 在 GG 上限制为群同态 G→C×G\to\mathbb C^\times；反之，这样的群同态可唯一扩张为模 qq 的 Dirichlet 特征。（读者可验证，任意从 GG 到 C×\mathbb C^\times 的群同态都是一个模 qq 的 Dirichlet 特征）因此

Xq=G^:=Hom⁡(G,C×).X_q=\widehat G:=\operatorname{Hom}(G,\mathbb C^\times).

G^\widehat G 被称为 GG 的对偶群。

又由于有限群满足：它和自己的对偶群同构。即

G≅G^.G\cong\widehat G.

因此 Xq≅GX_q\cong G。

从这个定理，我们可以计算 XqX_q 的大小，即 ∣Xq∣=∣G∣=φ(q)|X_q| = |G| = \varphi(q). 由此可知，模 qq 的 Dirichlet 特征一共有 φ(q)\varphi(q) 个。下面的性质可以看作一个对上述定义和性质的运用练习，同时，它也是证明 Dirichlet 引理中的一个重要步骤。

特征正交关系

性质 5（特征正交关系）. 若 (a,q)=1(a,q)=1，则

1φ(q)∑χ∈Xqχ(a)‾χ(n)={1,n≡a(modq),0,n≢a(modq).\frac1{\varphi(q)} \sum_{\chi\in X_q}\overline{\chi(a)}\chi(n) = \begin{cases} 1,&n\equiv a\pmod q,\\ 0,&n\not\equiv a\pmod q. \end{cases}

证明.

若 (n,q)>1(n,q)>1，则所有 χ(n)=0\chi(n)=0；同时 n≢a(modq)n\not\equiv a\pmod q，结论成立。

以下设 (n,q)=1(n,q)=1，并令

g=na−1∈G,S=∑χ∈Xqχ(a)‾χ(n).g=na^{-1}\in G, \qquad S=\sum_{\chi\in X_q}\overline{\chi(a)}\chi(n).

由 ∣χ(a)∣=1|\chi(a)|=1，有 χ(a)‾=χ(a)−1\overline{\chi(a)}=\chi(a)^{-1}，所以

S=∑χ∈Xqχ(g).S=\sum_{\chi\in X_q}\chi(g).

若 n≡a(modq)n\equiv a\pmod q，则 g=1g=1，故

S=∑χ∈Xqχ(1)=∣Xq∣=φ(q).S=\sum_{\chi\in X_q}\chi(1)=|X_q|=\varphi(q).

若 n≢a(modq)n\not\equiv a\pmod q，则 g≠1g\ne1。取 ψ∈Xq\psi\in X_q 使 ψ(g)≠1\psi(g)\ne1。映射 χ↦ψχ\chi\mapsto\psi\chi 是 XqX_q 上的双射，因此

S=∑χ∈Xq(ψχ)(g)=ψ(g)S.S=\sum_{\chi\in X_q}(\psi\chi)(g)=\psi(g)S.

因 ψ(g)≠1\psi(g)\ne1，故 S=0S=0。最后除以 φ(q)\varphi(q)，即得结论。